Geschreven door Madelon F. Zady.
Wanneer u maandelijkse QC-gegevens vergelijkt of initiële methodevalidatie-experimenten uitvoert, doet u veel gemiddelde vergelijking. Dr. Madelon F. Zady, Ph.D., praat over de middelen van middelen en andere belangrijke statistische berekeningen.
EdD Universitair Docent
Clinical Laboratory Science Program Universiteit van Louisville
Louisville, Kentucky
juni 1999
- Een gesimuleerd experiment
- Berekening van het gemiddelde van een steekproef (en gerelateerde statistische terminologie)
- Scores, Gemiddelde, Afwijkingsscores
- Eerste moment, som van de kwadraten
- Variantie, standaarddeviatie
- Berekening van het gemiddelde van de steekproeven (of standaardfout van het gemiddelde)
- Gemiddelde, Afwijkingen of fouten
- Som van kwadraten, variantie van gemiddelden
- Standaarddeviatie van gemiddelden, standaardfout van het gemiddelde
- Steekproefverdeling van middelen
- Waarom zijn de standaardfout en de steekproefverdeling van het gemiddelde belangrijk?
- Belangrijke statistische eigenschappen
- Belangrijke laboratoriumtoepassingen
- Referenties
- Oefeningen voor zelfevaluatie
- Over de auteur
Gemiddeld of gemiddeld
De vorige les beschreef de berekening van het gemiddelde, SD en CV en illustreerde hoe deze statistieken kunnen worden gebruikt om de verdeling van metingen te beschrijven die worden verwacht van een laboratoriummethode. Een gebruikelijke toepassing van deze statistieken is de berekening van controlelimieten om het verwachte waardenbereik vast te stellen wanneer de prestaties van de laboratoriummethode stabiel zijn. Veranderingen in de prestatie van de methode kunnen ertoe leiden dat het gemiddelde het bereik van verwachte waarden verschuift, of dat de SD het bereik van verwachte waarden uitbreidt. In beide gevallen moeten individuele controlewaarden de berekende controlelimieten (verwacht waardebereik) overschrijden en aangeven dat er iets mis is met de methode.
De berekening van een gemiddelde is gekoppeld aan de centrale ligging of juistheid van een laboratoriumtest of -methode (nauwkeurigheid, onnauwkeurigheid, bias, systematische fout, juistheid) en de berekening van een SD is vaak gerelateerd aan de spreiding of verdeling van resultaten (precisie, onnauwkeurigheid, willekeurige fout, onzekerheid). Bij het schatten van de centrale locatie van een groep testresultaten zou men kunnen proberen de gehele populatie te meten of de populatieparameters te schatten op basis van een kleinere steekproef. De berekende waarden van de gehele populatie worden genoemdparameters(mu voor het gemiddelde, sigma voor de standaarddeviatie), terwijl de waarden berekend uit een kleinere steekproef statistieken worden genoemd (Xbar voor het gemiddelde, SD voor de standaarddeviatie).
Een gesimuleerd experiment
Denk aan de situatie waarin er 2000 patiënten beschikbaar zijn en u wilt het gemiddelde voor die populatie schatten. Van alle 2000 patiënten kunnen bloedmonsters worden afgenomen en bijvoorbeeld op glucose worden geanalyseerd. Dit zou een hoop werk zijn, maar de hele populatie zou kunnen worden getest en het werkelijke gemiddelde zou kunnen worden berekend, dat dan zou worden weergegeven door het Griekse symbool mu (µ). Neem aan dat het gemiddelde (µ) voor de hele populatie 100 mg/dl is. Hoe dichtbij zou u zijn als u slechts 100 exemplaren zou analyseren?
Deze situatie kan gedemonstreerd of gesimuleerd worden door de waarden van 2000 op aparte strookjes papier te noteren en in een grote bak te plaatsen. Vervolgens teken je een steekproef van 100 stukjes papier, bereken je het gemiddelde voor deze steekproef van 100, noteer je dat gemiddelde op een stuk papier en plaats je het in een tweede, kleinere container. De 100 strookjes papier worden vervolgens samen met de andere 1900 in de grote container gedaan (een proces dat metbemonstering met vervanging) en de container geschud en gemengd. Je trekt dan nog een steekproef van 100 strookjes uit de grote bak, berekent het gemiddelde, noteert het gemiddelde op papier, plaatst dat strookje papier in de kleine bak, doet de 100 strookjes papier terug in de grote bak en schudt en mengt. Als je dit proces nog tien keer herhaalt, heeft de kleine container nu 12 mogelijke schattingen van de "steekproef van 100" gemiddelden uit de populatie van 2000.
Berekening van het gemiddelde van een steekproef (en gerelateerde statistische terminologie)
We beginnen met het berekenen van het gemiddelde en de standaarddeviatie voor een enkele steekproef van 100 patiënten. Het gemiddelde en de standaarddeviatie worden berekend zoals in de vorige les, maar we zullen de statistische terminologie in deze discussie uitbreiden. De onderstaande tabel toont de eerste 9 van deze waarden, waarbij X een individuele waarde of score is, Xbar het gemiddelde is en X min Xbar de afwijkingsscore of delta wordt genoemd (
).
| Kolom A Waarde of score (X) | Kolom B Afwijkingsscore ( ) (X-Xbar) | Kolom C Afwijkingsscore² ( ²) (X-Xbar)² |
| 100 | 100-94,3 = 5,7 | (5,7)² = 32,49 |
| 100 | 100-94,3 = 5,7 | (5,7)² = 32,49 |
| 102 | 102-94,3 = 7,7 | (7,7)² = 59,29 |
| 98 | 98-94,3 = 3,7 | (3,7)² = 13,69 |
| 77 | 77-94,3 = -17,3 | (-17,3)² = 299,29 |
| 99 | 99-94,3 = 4,7 | (4,7)² = 22.09 |
| 70 | 70-94,3 = -24,3 | (-24,3)² = 590,49 |
| 105 | 105-94,3 = 10,7 | (10,7)² = 114,49 |
| 98 | 98-94,3 = 3,7 | (3,7)² = 3,69 |
 X | of(X-Xbar) | ² of(X-Xbar)² |
| "eerste ogenblik" | Som van kwadraten (SS) | |
- scoort.Kolom A bevat de individuele waarden of scores die worden gebruikt om het gemiddelde te berekenen.
- Gemeen.De som van de scores wordt gedeeld door het aantal waarden (N=100 voor dit voorbeeld) om het gemiddelde te schatten, d.w.z.
X/N = gemiddeld. - Afwijkingsscores.Kolom B vertegenwoordigt de afwijkingsscores (X-Xbar), die laten zien hoeveel elke waarde afwijkt van het gemiddelde. In les vier noemden we dit de verschilscores. Ze worden ook wel fouten genoemd (zoals later in deze les zal blijken).
- Eerste moment.De som van de deviatiescores is altijd nul. Deze nul is een belangrijke controle op berekeningen en wordt het eerste moment genoemd. (De momenten worden gebruikt in de Pearson Product Moment Correlation-berekening die vaak wordt gebruikt met methodevergelijkingsgegevens.)
- Som van de kwadraten.De derde kolom geeft de gekwadrateerde afwijkingsscores weer, (X-Xbar)², zoals het in Les 4 werd genoemd. De som van de gekwadrateerde afwijkingen,(X-Xbar)², wordt ook wel de som van de kwadraten of eenvoudiger SS genoemd. SS vertegenwoordigt de som van de gekwadrateerde verschillen met het gemiddelde en is een uiterst belangrijke term in de statistiek.
- Afwijking. De som van de kwadraten geeft aanleiding tot variantie.Het eerste gebruik van de term SS is om de variantie te bepalen. De variantie voor deze steekproef wordt berekend door de som van de gekwadrateerde verschillen van het gemiddelde te nemen en te delen door N-1:
- Standaardafwijking. De variantie geeft aanleiding tot standaarddeviatie.Het tweede gebruik van de SS is om de standaarddeviatie te bepalen. Laboratoria hebben de neiging om de SD te berekenen op basis van een uit het hoofd geleerde formule, zonder veel aandacht te schenken aan de termen.
Het is belangrijk om nogmaals te erkennen dat het de som van de kwadraten is die leidt tot variantie die op zijn beurt leidt tot standaarddeviatie. Dit is een belangrijk algemeen begrip of thema dat steeds weer in de statistiek zal worden gebruikt. De variantie van een grootheid is gerelateerd aan de gemiddelde som van de kwadraten, die op zijn beurt de som vertegenwoordigt van de kwadraten van de afwijkingen of verschillen van het gemiddelde.
Berekening van het gemiddelde van de steekproeven (de standaardfout van het gemiddelde)
Laten we nu eens kijken naar de waarden voor de twaalf gemiddelden in de kleine container. Laten we het gemiddelde berekenen voor deze twaalf "gemiddelde van 100" steekproeven, waarbij we ze wiskundig ongeveer hetzelfde behandelen als het vorige voorbeeld dat de berekening illustreerde van een individueel gemiddelde van 100 patiëntwaarden.
| Berekening van het gemiddelde van de twaalf middelen uit "steekproeven van 100" | ||
| Kolom A Xbar Waarden | Kolom B Xbar-µ Afwijkingen | Kolom C (Xbar-µ)² Afwijkingen in het kwadraat |
| 100 | 100-100 = 0 | 0 |
| 99 | 99-100 = -1 | (-1)² = 1 |
| 98 | 98-100 = -2 | (-2)² = 4 |
| 106 | 106-100 = 6 | (6)² = 36 |
| 97 | 97-100 = -3 | (-3)² = 9 |
| 95 | 95-100 = -5 | (-5)² = 25 |
| 99 | 99-100 = -1 | (-1)² = 1 |
| 101 | 101-100 = 1 | (1)² = 1 |
| 97 | 97-100 = -3 | (-3)² = + 9 |
| 96 | 96-100 = -4 | (-4)² = 16 |
| 100 | 100-100 = 0 | 0 |
| 100 | 100-100 = 0 | 0 |
| Xbar=1188 | = 0 | SS = 102 |
- Gemiddelde van middelen.Onthoud dat kolom A de gemiddelden weergeeft van de 12 monsters van 100 die uit de grote container zijn getrokken. Het gemiddelde van de 12 "monsters van 100" is 1188/12 of 99,0 mg/dl.
- Afwijkingen of fouten.Kolom B toont de afwijkingen die zijn berekend tussen het waargenomen gemiddelde en het werkelijke gemiddelde (µ = 100 mg/dL) dat is berekend op basis van de waarden van alle 2000 monsters.
- Som van de kwadraten.Kolom C toont de kwadratische afwijkingen die een SS van 102 opleveren.
- Afwijking van de middelen.Door het eerdere patroon te volgen, kan de variantie worden berekend uit de SS en vervolgens de standaarddeviatie van de variantie. De variantie zou 102/12 zijn, wat 8,5 is (Merk op dat hier N wordt gebruikt in plaats van N-1 omdat het werkelijke gemiddelde bekend is). Wiskundig gezien is het SS over N.
- Standaarddeviatie van het gemiddelde of standaardfout van het gemiddelde.Als we het patroon voortzetten, wordt de vierkantswortel geëxtraheerd uit de variantie van 8,5 om een standaarddeviatie van 2,9 mg/dL op te leveren. Deze standaarddeviatie beschrijft de variatie die wordt verwacht voor gemiddelde waarden in plaats van individuele waarden, daarom wordt het meestal de genoemdstandaardfout van het gemiddelde, desteekproeffout van het gemiddelde, of eenvoudiger destandaardfout(soms afgekort SE). Wiskundig gezien is het de vierkantswortel van SS gedeeld door N; statistici nemen een kortere weg en noemen het over de vierkantswortel van N.
- Steekproefverdeling van de middelen.Als uit het eerdere voorbeeld van 2000 patiëntresultaten alle mogelijke steekproeven van 100 zouden worden getrokken en al hun gemiddelden zouden worden berekend, zouden we in staat zijn om deze waarden uit te zetten om een verdeling te produceren die een normale curve zou geven. De hier getoonde steekproefverdeling bestaat uit gemiddelden, niet uit steekproeven, daarom wordt het de steekproefverdeling van gemiddelden genoemd.
Waarom zijn de standaardfout en de steekproefverdeling van het gemiddelde belangrijk?
Belangrijke statistische eigenschappen.Conclusies over de prestaties van een test of methode zijn vaak gebaseerd op de berekening van gemiddelden en de veronderstelde normaliteit van de steekproefverdeling van gemiddelden. Als er voldoende experimenten zouden kunnen worden uitgevoerd en de gemiddelden van alle mogelijke monsters zouden kunnen worden berekend en uitgezet in een frequentiepolygoon, zou de grafiek een normale verdeling laten zien. In de meeste toepassingen kan de steekproefverdeling echter niet fysiek worden gegenereerd (te veel werk, tijd, moeite, kosten), dus wordt deze in plaats daarvan theoretisch afgeleid. Gelukkig zal de afgeleide theoretische verdeling belangrijke gemeenschappelijke eigenschappen hebben die samenhangen met de steekproevenverdeling.
- Het gemiddelde van de steekproefverdeling is altijd hetzelfde als het gemiddelde van de populatie waaruit de steekproeven zijn getrokken.
- De standaardfout van het gemiddelde kan worden geschat door de vierkantswortel van SS over N of s over de vierkantswortel van N of zelfs SD/(N)1/2. Daarom kan de steekproefverdeling worden berekend wanneer de SD goed is ingeburgerd en N bekend is.
- De verdeling zal normaal zijn als de steekproefomvang die wordt gebruikt om het gemiddelde te berekenen relatief groot is, ongeacht of de populatieverdeling zelf normaal is. Dit staat bekend als decentrale limietstelling. Het is fundamenteel voor het gebruik en de toepassing van parametrische statistiek omdat het verzekert dat - als gemiddelde waarden worden gebruikt - gevolgtrekkingen kunnen worden gemaakt op basis van een Gaussiaanse of normale verdeling.
- Deze eigenschappen zijn ook van toepassing op steekproefverdelingen van andere statistieken dan gemiddelden, bijvoorbeeld variantie en hellingen in regressie.
Kortom, steekproevenverdelingen en hun stellingen helpen ervoor te zorgen dat we werken met normale verdelingen en dat we alle bekende "poorten" kunnen gebruiken.
Belangrijke laboratoriumtoepassingen.Deze eigenschappen zijn belangrijk bij gangbare toepassingen van statistiek in het laboratorium. Overweeg de problemen die zich voordoen wanneer een nieuwe test, methode of instrument wordt geïmplementeerd. Het laboratorium moet ervoor zorgen dat de nieuwe even goed presteert als de oude. Statistische procedures moeten worden gebruikt om de prestaties van de twee te vergelijken.
- Initiële methodevalidatie-experimenten die controleren op systematische fouten omvatten doorgaans herstel, interferentie en vergelijking van methoden-experimenten. De gegevens van alle drie deze experimenten kunnen worden beoordeeld door berekening van gemiddelden en vergelijking van de gemiddelden tussen methoden. De vragen over acceptabele prestaties hangen vaak af van het bepalen of een waargenomen verschil groter is dan op basis van toeval wordt verwacht. Het waargenomen verschil is meestal het verschil tussen de gemiddelde waarden van de twee methoden. Het verwachte verschil kan worden beschreven door de steekproefverdeling van het gemiddelde.
- Kwaliteitscontrolestatistieken worden van maand tot maand vergeleken om te beoordelen of er op de lange termijn verandering is in de prestaties van de methode. Het gemiddelde van een controlemateriaal voor de meest recente maand wordt vergeleken met het gemiddelde van de voorgaande maand of het cumulatieve gemiddelde van voorgaande maanden. De verandering die belangrijk of significant zou zijn, hangt af van de standaardfout van het gemiddelde en de steekproefverdeling van de gemiddelden.
- Vergelijkingen tussen laboratoria zijn mogelijk wanneer gemeenschappelijk controlemateriaal wordt geanalyseerd door een groep laboratoria - een programma dat vaak peer-vergelijking wordt genoemd. Het verschil tussen het gemiddelde van een individueel laboratorium en het gemiddelde van de groep laboratoria geeft een schatting van de systematische fout of onnauwkeurigheid. De significantie van een individueel verschil kan worden beoordeeld door de individuele waarde te vergelijken met de waargenomen verdeling van gemiddelden voor de groep laboratoria.
Vragen over zelfevaluatie
- Wat vertegenwoordigt SS? Beschrijf het in woorden. Druk het wiskundig uit.
- Waarom is het concept kwadratensom (SS) belangrijk?
- Laat zien hoe de variantie wordt berekend uit de SS.
- Laat zien hoe de SD wordt berekend uit de variantie en SS.
- Wat is het verschil tussen de standaarddeviatie en de standaardfout van het gemiddelde?
- Gegeven een methode waarvan de SD 4,0 mg/dL is en 4 herhaalde metingen worden uitgevoerd om een testresultaat van 100 mg/dL te schatten, berekent u de standaardfout van het gemiddelde om de onzekerheid van het testresultaat te bepalen.
Over de auteur: Madelon F. Zady
Madelon F. Zady is assistent-professor aan de Universiteit van Louisville, School of Allied Health Sciences Clinical Laboratory Science-programma en heeft meer dan 30 jaar ervaring in lesgeven. Ze heeft BS-, MAT- en EdD-diploma's van de Universiteit van Louisville, heeft andere geavanceerde cursussen gevolgd van de School of Medicine en School of Education, en ook geavanceerde cursussen in statistiek. Ze is een geregistreerde MT(ASCP) en een gediplomeerde CLS(NCA) en heeft 14 jaar parttime als banktechnoloog gewerkt. Ze is lid van de: American Society for Clinical Laboratory Science, Kentucky State Society for Clinical Laboratory Science, American Educational Research Association en de National Science Teachers Association. Haar onderwijsgebieden zijn klinische chemie en statistiek. Haar onderzoeksgebieden zijn metacognitie en leertheorie.
